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Ich gebe mal meine Meinung wieder, die meinem aktuellen Kenntnisstand entspricht. Das ersetzt wie immer keinen Rechtsberatung.

Die Situation ist so, dass du de jure, falls nicht doch noch ein Tetstament auftaucht, einfach kein Erbe bist. Das Schreiben vom Notar wäre eventuell belastbar, wenn er z.B. nicht unterschreiben konnte, weil er unmittelbar danach verstorben ist. Hast du mal bei dem Notar nachgefragt, ob es nicht doch ein Testament gibt?

Aber so gibt es eventuell nur einen moralischen Anspruch - aber den kann man rechtlich nicht durchsetzen.

Wenn dein Stiefvater keine Kinder hatte und seine Mutter noch lebt, so erbt sie alles. Wenn er noch Geschwister hat, erben diese, falls seine Mutter nicht mehr lebt oder auf das Erbe verzichtet. In dem Fall werden aber erhebliche Steuern fällig. Sie könnte dir aber auch einen Nießbrauch eintragen, so dass du (unter Tragung der Nebenkosten) in dem Haus bleiben könnest.

Die Bestattungskosten tragen die nächsten Verwandten - in dem Fall also die Mutter.