Hallo Sven,
grundlegend ist es so, dass der Vermieter die Aufgabe hat, den Zustand einer Wohnung zu erhalten. Somit wäre diese "Klempnerarbeit" auch dem Vermieter zuzuschreiben.
Du solltest aber auf jeden Fall
prüfen, ob im Mietvertrag nicht gegebenenfalls etwas anderes geregelt ist.
Zur Verfahrensweise würde ich dir auch vorschlagen nicht direkt einen Klempner zu beauftragen, sondern dies mit dem Vermieter abzusprechen. Dieser sollte dann den Auftrag für die Kleinreparatur erteilen und auch die Rechnung erhalten und zahlen.
Somit solltest du auf der sicheren Seite sein!