Die Reparatur, bzw. die Anschaffung eines neuen Boilers ist natürlich einzig Sache des Vermierters. Nachzulesen im BGB:
Beweislastfragen im Mietrecht
Rechte und Pflichten eines Vermieters - Checkliste
Da ja auch kein schriftlicher Mietvertrag besteht, muss der Vermieter alle Reparaturen, Kleinreparaturen und Schönheitsreparaturen ausführen. Also auch die Dinge, die ansonsten in Mietverträgen anders geregelt sind.
Eine Mieterhöhung muss auf keinen Fall gezahlt werden, weil dazu die vertraglichen Voraussetzungen fehlen. Das fehlende Warmwasser berechtigt zur Minderung der Miete. Hier dürfte wohl eine Minderung um 15% angemessen sein. Bitte taggenau die Minderung der Bruttomiete ausrechnen und bei der nächsten Zahlung abziehen.
Und bitte einen Anwalt beauftragen, der wird seine Kosten dem Vermieter berechnen.