Hallo,
generell ist der Vermieter berechtigt die Wohnung fristlos zu kündigen, wenn die Voraussetzungen für den Mietrückstand erfüllt sind.
Dies kann im Detail hier nachgelesen werden:
Die frisltose Kündigung durch den Vermieter
Dennoch gibt es Härtefälle unter denen eine Frist zum Auszug verlängert werden kann. Und 8 Tage sind gemeinhin zu kurz, da eine solche Frist meiner Ansicht nach nicht als angemessen erscheint.
Ein paar Tipps dazu gibt es hier:
Tipps und Tricks zur Kündigung durch den Vermieter
Ich würde empfehlen noch einmal das Gespräch mit dem Vermieter zu suchen. In der Pflicht den Bürgen anzusprechen ist er meiner Meinung nach nicht. Darüberhinaus darf generell nur eine Mietsicherheit von 3 Monatsmieten gefordert werden. Diese könnten bereits mit der Kaution abgesichert sein - eine Bürgschaft wäre dann irrelevant.
Sollte der Vermieter die fristlose Kündigung nicht zurücknehmen, sollte mit einem Schreiben (Einschreiben) mit der Bitte um Fristverlängerung des Auszugs gebeten werden.
Freundliche Grüße,
Mietrecht Einfach