[Orion]

mietverträge können auch mündlich geschlossen werden. die schriftform ist nicht vorgeschrieben. ein mietvertrag wäre also bei mündlicher zusage durch den vermieter tatsächlich zustandegekommen.
das ist die theorie.

in der praxis wird es ihnen aber wohl schwerfallen, ihre ansprüche zu beweisen.

genausoschwer kann aber ihr vermieter ohne ihre unterschrift beweisen, dass sie irgendwelchen anderen forderungen seitens des vermieters zugestimmt hätten.

eine überweisung der miete (aus dem ersten oder zweiten mietvertrag? das wurde nicht deutlich) in der geforderten höhe erkennt die höhe der forderung allerdings auch an.

weiterhin haben sie einen rechtlichen anspruch darauf, die kaution in 3 gleichen, aufeinanderfolgenden raten zu zahlen - wenn sie dies verlangen.

überlegen sie sich, was ihnen die wohnung wert ist. wenn sie bereit sind, die geforderte summe zu zahlen, dann tun sie das - oder sie müssten sich sowieso nach einer neuen wohnung umschauen.

lassen sie sich anwaltlich beraten. das ist soweit noch ganz günstig.

aber ob sie diesen fall ausfechten wollen, würde ich mir zweimal überlegen. letztlich läuft ihr fall auf "aussage gegen aussage" hinaus. ein klares urteil können sie hier in den seltensten fällen erwarten. womit sie dann auch auf ihren anwalts-/prozesskosten sitzenblieben können.