Das stellt die rechtlichen Möglichkeiten des Mieters etwas auf den Kopf.

Der Mieter macht eine Mietminderung geltend und lässt sie sich nicht vom Vermieter vorschreiben. Es geht bei der Mietminderung um den Verlust oder die Einschränkung des Wohnwertes für den Mieter. Das kann man im § 536 BGB nachlesen.

In diesem Fall könnte der Mieter seine Mietminderung bestimmen und sie direkt mit der Miete verrechnen.
Ob er diese Mietminderung dann mit seinem Mietzuschuss verrechnet bekommt, ist sehr wahrscheinlich, da er diese Minderung der Mietzahlung der Stelle melden muss, die ihm den Zuschuss zahlt.

Übrigens würde der Vermieter, über seine Gebäudeversicherung, den Mietausfall ersetzt bekommen.

Aber insgesamt bleibt festzuhalten, dass den Vermieter die Höhe des Mietzuschusses überhaupt nichts angeht und auch für die Mietminderung ohne Belang ist.