2 Probleme:

a) Alles was mit der Rückforderung der Leistungen zu tun hat, sollte unverzüglich mit dem Jobcenter abgeklärt werden. Denn von dort wird ja nur dann zurückgefordert, wenn Leistungen zu Unrecht gezahlt wurden.
Mit einer entsprechenden Begründung, warum der Umzug nicht durchgeführt werden konnte, sollte sich auch ein Kompromiss erzielen lassen.

b) Mietrecht hat in diesem Fall nur mit der Vertragserfüllung zu tun. Die Miete ist, wie schon geschrieben, bis zum Vertragsende zu zahlen. Bei den Betriebskosten könnten Abstriche gemacht werden, die sich mit dem nicht erfolgten Verbrauch befassen.
Man könnte außerdem noch der Vermietrin einen Ersatzmieter suchen.

Bedenken Sie bitte noch, dass Sie hier an ein Forum geschrieben haben, dass mit Sicherheit keins Ihrer Probleme lösen kann.
Vielleicht beginnen Sie mit einer gezielten Vorsprache im Jobcenter.