Da Sie die Nässe, die für den Schimmel Ursache ist, verursacht haben, sind auch Sie für die Erneuerung des verschimmelten Silikons zuständig:
Siehe auch hier:
Mängel an Silikonfugen n der Wohnung
Wenn im Mietvertrag eine sogenannte Kleinreparaturklausel vereinbart ist, dann wären Sie wohl auch für den Wasserhahn in der Küche zuständig.
Ein Wasserhahn kann in der Regel mit einer neuen Dichtung versorgt werden, da muss nicht unbedingt ein neuer hin.