Irgendetwas läuft da schief.
Die Haftpflichtversicherung zahlt direkt an den Geschädigten und wickelt somit den Schaden ab. Dazu erhält der Geschädigte eine entsprechende Mitteilung der Versicherung.

Eine Haftpflichtversicherung wehrt auch unberechtigte Ansprüche für seinen Versicherungsnehmer ab. Sie wirkt als eine passive Rechtsschutzversicherung.

Klartex:
Alle Forderungen die der Vermieter stellt, sollte der Mieter in diesem Fall sofort seiner Haftpflichtversicherung übergeben.

Die Versicherung wird sogar im Ernstfall die Gerichtskosten übernehmen.

Also sollte man bei solchen Unstimmigkeiten die Versicherung zu einer klaren Aussage zwingen.

Die HV wäre nun gezwungen eine neue Badewanne installieren zu lassen, da die funktionierende Badewanne zum Mietumfang gehört.
Sie ist nach § 535 BGB zur Instansetzung und Instandhaltung gesetzlich verpflichtet.

Zwischenzeitlich wäre eine Mietminderung nach § 536 BGB möglich.

Weiteres sollte mit einem Fachanwalt besprochen werden.