Hallo Nora,
erst einmal Danke für die ausführliche Schilderung des Sachverhaltes - das macht es nämlich einfacher eine hilfreiche Meinung zu verfassen.
Als erstes würde ich folgendes tun:
Bitte deinen Vermieter auf eigene Kosten (also deine Kosten) einen Nachmieter zu finden. Das Problem ist, dass der Vermieter diesen auch ohne Angabe von Gründen ablehnen kann. Es kursierte mal ein Gerücht, dass wenn man 3 Nachmieter zur Auswahl stellt, der Vermieter einem potentiellen Nachmieter zustimmen muss. Das ist nicht korrekt - in diesem Falle besteht Hausrecht.
Sollte der Vermieter deine Anfrage auf Stellung eines Nachmieters bereits im Vorfeld ablehnen, bleibt dir eigentlich nur die Möglichkeit über eine Mängelliste fristlos aus dem Vertrag zu kommen - und das nur unter bestimmten Bedingungen.
Erstelle eine Mängelliste (natürlich schriftlich), in welcher du alle Mängel der Wohnung aufnimmst, wie z.B. mangelhafte Elektrik und das Nichteinhalten der Heizpflicht. Die
Heizpflicht des Mieters muss durch den Vermieter gewährleistet werden. Was das unbefugte Betreten des Kellers angeht: Sollte dieser im Mietvertrag enthalten sein, so könnte man dies ggf. auch als Hausfriedensbruch auslegen, da es sich aber um einen Keller handelt bin ich mir hier nicht sicher. Die "dünnen Wände" gereichen meiner Meinung nach nicht als Mangel.
Wenn du alle Dinge zusammengetragen hast (vielleicht gibt es ja noch Schimmel in der Wohnung, ein undichtes Fenster oder Sonstiges), dann stellst du dem Vermieter eine Frist zur Beseitigung, z.B. 14 Tage. Sollte diese Frist nicht eingehalten werden, so eröffnet es dir die Möglichkeit einer fristlosen Kündigung.
Um rechtsicheren Beistand zu haben empfehle ich dir dennoch einen Mieterverein oder einen Fachanwalt für Mietrecht aufzusuchen, ich sehe nämlich auf Grund deiner Schilderung durchaus Chancen den Mietvertrag ggf. früher auflösen zu können - auch wenn Sie nicht "sicher" sind.
PS: Bei Mängeln in der Wohnung kann direkt nach Bekanntwerden gegenüber dem Vermieter die Miete gemindert werden. Hierbei ist es unerheblich, ob der Mangel telefonisch oder schriftlich mitgeteilt wird. Problem liegt nur grundsätzlich in der Beweispflicht und somit empfiehlt es sich immer den Kontakt mit dem Vermieter auf einem schriftlichen Wege zu suchen.
Ich hoffe ich war eine Hilfe und stehe gerne für weitere Fragen bereit.
Freundliche Grüße,
Mietrecht Einfach