Hallo Jassy,
Hier einmal der Beitrag zum Thema Schlüssel:
Schlüssel Mietrecht
Demnach sind dem Mieter nur zwei Satz Schlüssel auszuhändigen, es sei denn, es gäbe noch weitere Familienmitglieder in der Wohnung. Wie der Fall geschildert ist, ist dies aber nicht der Fall und so besteht kein Anspruch gegenüber dem Vermieter auf einen zusätzlichen Satz Schlüssel.
Wie mein Vorredner bereits sagte: Wenn dann nur auf eigene Kosten - und selbst das wird schwierig, wenn es sich um ein Sicherheitsschloss handelt.
Freundliche Grüße,
Mietrecht Einfach