Zu 1. Im Sinne eines friedlichen Neubeginns, warum wollen Sie sich stur stellen?
Zu 2. Beim Verkauf der Wohnung wird der Mieter mitgekauft. Mit allen Rechten und Pflichten. Das bedeutet, dass kein neuer Mietvertrag benötigt wird.
Zu 3. Wenn die Fristen eingehalten werden, dann kann der neue Eigentümer ein förmliches Mieterhöhungsbegehren stellen. Wie das auszusehen hat, finden Sie hinter diesem Link:
Mietrecht: Mieterhöhungen - Anhebung bis zur Vergleichmiete
Dazu muss aber der neue Eigentümer im Grundbuch eingetragen sein. Einfach zu sagen, ich bin der neue, geht natürlich nicht.